Olasılık ve İstatistik

Bu kitap Yükseköğretim kurumlarımızda Olasılık ve İstatistik dersleri alan değişik disiplinlerdeki öğrencilerimizi temel kavramlar üzerinde aydınlatmak amacıyla hazırlanmıştır.

Disiplinler arası araştırma yapan lisanüstü öğrenciler referans kitabı olarak yararlanabilirler.

Günümüzde, Aktüerya, Eğitim, Ekonometri, Haberleşme, İktisat, İstatistik, İşletme, Matematik, Matematik Eğitimi, Mühendislik alanlarında (özellikle Elektrik-Elektronik, Bilgisayar, Endüstri, Jeoloji, Tekstil) , Psikoloji, Sağlık bilimleri, Ziraat ve diğer disiplinlerde istatistik yöntemlere gereksinme duyulmaktadır.

Bu nedenle bölüm sonlarındaki problemler, konuların işleniş sırasıyla istatistiğin kullanıldığı değişik araştırma alanlarından seçilerek, kitabın değişik alanlarda öğrenim gören öğrencilere yararlı olabileceği düşünülmüştür.

Bazı bölümlerin sonlarında yer alan çözümlü alıştırmalar bölümü tamamlayıcı nitelikte olup öğrenciye problemleri çözme cesaretini verecek ve dersi veren öğretim elemanına da yol gösterici olacaktır.

Yeniden gözden geçirilmiş olan bu baskıda özellikle 2.-7. bölümlerin içine bazı yeni çözümlü alıştırmalar koyulmuştur.

Matematik, İstatistik, İktisat, İşletme, Bilgisayar, Elektrik-Elektronik bölümlerinde olasılık ve /veya istatistik dersi verdiğim yıllarda öğrencilerin 3., 4., 5. ve 6. bölümlerde alıştırmalar üzerinde hatalı düşüncelerle çözüm aradıkları görüldü. Bu nedenle 17. baskıda 2.-7. bölümlerdeki alıştırmalar içindeki tüm soruların çözümleri eklendi.

Olasılık ve istatistik olarak iki kısımdan oluşan bu kitabın ilk 7 bölümünde verilen normal dağılım ve diğer olasılık dağılımları ile ilgili bilgilerin 10, 11 ve 12. bölümlerin daha iyi anlaşılmasını sağlayacağı düşünülmektedir.

Kitabın istatistik kısmında matematiksel analiz yönüne fazla ağırlık verilmemekle birlikte konular üzerinde ayrıntılı biçimde durularak matematiksel istatistik ya da olasılık ve istatistik kuramı dersleri için

başlangıç olmasına çalışılmıştır.

İÇİNDEKİLER

BÖLÜM 1. GİRİŞ

1.1.       Olasılık ve İstatistik 

1.2.       Olasılık ve İstatistiğin Dünyası 

1.3.       Kitabın Eğilimi 

BÖLÜM 2. KÜMELER KURAMI VE ÖRNEK UZAY

2.1.       Küme Kavramı

2.2.       Kümeler Üzerinde İşlemler

2.3.       Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar

2.4.       Örnek Noktaları Sayma Kuralları

2.5.       Çözümlü Alıştırmalar

2.6.       Alıştırmalar

BÖLÜM 3. PERMÜTASYONLAR VE KOMBİNASYONLAR

3.1.       Permütasyonlar

3.2.       Kombinasyonlar

3.2.1.Tekrarlı Kombinasyonlar

3.3.       Tümü Birbirinden Farklı Olmayan Nesnelerin Kombinasyonu

3.4.       Sıralı ve Sırasız Parçalanmalar

3.4.1.Sıralı Parçalanma

3.4.2.Sırasız Parçalanma

3.5.       Binom Teoremi

3.6.       Çözümlü Alıştırmalar

3.7.       Alıştırmalar                

3.8.       Karışık Problemler

BÖLÜM 4. OLASILIĞA GİRİŞ

4.1.       Bir Olayın Olasılığı ve Olasılık Aksiyomları

4.2.       Bazı Olasılık Kuralları

4.2.1.Sürekli Örnek Uzayları ve Geometrik Olasılık

4.3.       Koşullu Olasılık

4.4.       Bağımsız Olaylar

4.5.       Bayes Teoremi

4.6.       Çözümlü Alıştırmalar

4.7.       Alıştırmalar                

4.8.       Karışık Problemler

BÖLÜM 5. RASGELE DEĞİŞKENLER VE DAĞILIMLARI

5.1.       Rasgele Değişken Kavramı

5.2.       Kesikli Rasgele Değişkenin Dağılımı

5.3.       Sürekli Rasgele Değişkenin Dağılımı

5.4.       İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

5.5.       Bir Rasgele Değişkenin Beklenen Değeri

5.6.       Beklenen Değerin Özellikleri

5.7.       Bir Rasgele Değişkenin Varyansı

5.8.       Bir Rasgele Değişkenin Varyansının Özellikleri

5.9.       Momentler                  

5.9.1.Bir Dağılımda Çarpıklık (Skewness) ve Sivrilik (Kurtosis)

5.10.   Chebyshev Eşitsizliği

5.11.   Çözümlü Alıştırmalar

5.12.   Rasgele Değişkenlerin Fonksiyonları

5.13.   Karakteristik Fonksiyonlar

5.14.   Alıştırmalar                 

5.15.   Karışık Problemler

BÖLÜM 6. BAZI KESİKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI

6.1.       Giriş                           

6.2.       Bernoulli Dağılım

6.3.       Binom dağılımı

6.4.       Çok Terimli Dağılım

6.5.       Geometrik Dağılım

6.6.       Negatif Binom Dağılımı

6.7.       Hipergeometrik dağılım

6.8.       Poisson Dağılımı

6.9.       Uniform (Düzgün) Dağılım

6.10.   Çözümlü Alıştırmalar

6.11.   Alıştırmalar                 

BÖLÜM 7. SÜREKLİ RASGELE DEĞİŞKENLERİN DAĞILIMLARI

7.1.       Normal Dağılım

7.2.       Standart Normal Dağılım

7.2.1.Standart Normal Eğrinin Özellikleri

7.3.       Binom Dağılımına Normal Yaklaşım

7.3.1.Süreklilik Düzelmesi İçin Genel Açıklama

7.4.       Çözümlü Alıştırmalar

7.4.1.Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

7.5.       Önemli Sürekli Rasgele Değişkenler ve Dağılımlar

7.5.1.Düzgün Dağılım

7.5.2.Üstel Dağılım

7.5.3.Gama Dağılımı

7.5.4.Beta Dağılımı

7.6.       Dağılımlar Arasındaki İlişkiler

7.7.       Alıştırmalar

BÖLÜM 8. ÖRNEKLEM (ÖRNEK) SEÇİMİ

8.1.       Örnekleme Kavramı

8.2.       Örneklem Seçimi

8.2.1.Basit rasgele Örneklem Seçimi

8.2.2.Sistematik Rasgele Örneklem Seçimi

8.2.3.Tabakalı Rasgele Örneklem Seçimi

8.2.4.Rasgele Küme Örneklemleri

                                        8.3    Alıştırmalar

BÖLÜM 9. VERİLERİN DÜZENLENMESİ VE ANALİZİ

9.1.       Giriş ve Ön Bilgiler

9.2.       İstatistiğin Amacı Nedir?

9.2.1.Veri düzenlenmesi

9.3.       Frekans (Sıklık) Dağılımı

9.4.       Grafiksel Gösterimler

9.5.       Merkezsel Eğilim Ölçüleri

9.5.1.Aritmetik Ortalama

9.5.2.Medyan (Orta Değer = Ortanca)

9.5.3.Mod (Tepe Değeri)

9.5.4.Ortalama, Orta Değer ve Tepe Değerin Karşılaştırılması

9.5.5.Geometrik Ortalama

9.5.6.Harmonik Ortalama

9.5.7.Merkezi Eğilim Ölçülerinin Karşılaştırılması

9.6.       Dağılım Ölçüleri

9.6.1  Çarpıklık Ölçütü

9.7.       Veri dağılımını Belirlemek İçin Diğer Gösterimler

9.7.1.Dal-Yaprak Gösterimi

9.7.2.Kutu Çizimleri

9.8.       Varyasyon (Değişim) Katsayısı

9.9.       Çözümlü Alıştırmalar

9.10.   Alıştırmalar

BÖLÜM 10. ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE TAHMİN ETME

10.1.   Giriş

10.2.   Örneklem Ortalaması ve Varyansın Bazı Özellikleri

10.3.   Nokta Tahmini

10.4.   Bilinen Varyansla Kitle Ortalamasının Aralık Tahmini

10.4.1.  Örneklem Büyüklüğü ne Kadar Olmalıdır?

10.4.2.  Chebyshew Eşitsizliği ve Örneklem Büyüklüğü

10.4.3.  Bazı Sürekli Dağılımlar

10.5.   Varyans Bilinmediğinde Kitle Ortalamasının Aralık Tahmini

          (Küçük Örnekleme Dayalı Güven Aralığı)

10.6.   Kitle Standart sapması ve Varyansı İçin Aralık Tahmini

10.7.   Normal Dağılımlı İki Kitlenin Ortalamaları Farkı

          İçin Aralık Tahmini

10.8.   Ölçüm Çiftleri İçin Aralık Tahmini

10.9.   Normal Dağılımlı İki Kitlenin Varyanslarının

          Oranı İçin Aralık Tahmini

10.10.                                                                                                                                                                                                                                                                                 Binom Olasılık Fonksiyonunda p nin Aralık Tahmini

10.10.1.   Örneklem Büyüklüğü Ne Kadar Olmalıdır?

10.11.                                                                                                                                                                                                                                                                                 İki Binom Parametresinin Farkının Aralık Tahmini

10.12.                                                                                                                                                                                                                                                                                 Alıştırmalar

BÖLÜM 11. İSTATİSTİKSEL SONUÇ ÇIKARMA: HİPOTEZ TESTİ

11.1.   Giriş

11.2.   Basit Hipotezlerin Test Edilmesi

11.3.   Bilinen Varyansla Normal Dağılıma Sahip bir Kitlenin Ortalaması İçin Hipotez Testi

11.3.1.Hipotez Testine P-Değeri Yaklaşımı

11.4.   Bilinmeyen Varyansla Normal Dağılımlı bir Kitlenin Ortalaması İçin Hipotez Testi

11.5.   Güven aralıklarının ve Hipotez Testinin Karşılaştırılması

11.6.   Normal Dağılımlı Bir Kitlenin Varyans ve Standart Sapması İçin Hipotez Testi

11.7.   Normal Dağılımlı İki Kitlenin Ortalamaları İçin Hipotez Testi

11.8.   İlgili Ölçüm Çiftleri İçin Testler

11.9.   Normal Dağılımlı İki Kitlenin Varyanslarının  Eşitliği İçin Hipotez Testi

11.10.                                                                                                                                                                                                                                                                                 Binom Dağılımındaki Parametre İçin Hipotez Testi

11.11.                                                                                                                                                                                                                                                                                 İki Binom Parametresinin farkı İçin Hipotez Testi

11.12.                                                                                                                                                                                                                                                                                 Ortalamaların Test Edilmesi İçin Örneklem Büyüklüğünün Seçimi

11.13.                                                                                                                                                                                                                                                                                 Çözümlü Alıştırmalar

11.14.                                                                                                                                                                                                                                                                                 Alıştırmalar

BÖLÜM 12. Kİ-KAREYE DAYANAN ÖNEMLİLİK TESTLERİ

12.1.   Giriş

12.2.   Uyum Testi

12.2.1.  Binom Dağılımı İle Uyum Testi

12.2.2.  Poisson dağılımı İle Uyum Testi

12.2.3.  Normal Dağılım İle Uyum Testi

12.3.   Bağımsızlık Testi:  Sınıflandırma Tabloları

12.4.   k Tane Oran Arasındaki Farklarla İlgili Testler

12.5.   Alıştırmalar

BÖLÜM 13. REGRESYON VE KORELASYON

13.1.   Regresyon Analizi

13.1.1.  Giriş

13.1.2.  Model ve Parametre Tahmini

13.2.   En Küçük Kareler Tahmini

13.3.   Varyansın Tahmini ve Kareler Toplamının Parçalanması

13.4.   Güven Aralıkları Ve Hipotez Testi

13.4.1.  X in Verilmiş Bir Değerinde m_y/x İçin Güven Aralığı

13.4.2.  X in Verilmiş Bir Değeri İçin Y nin Özel Bir

            Değerini Tahmin Etme

13.5.   Çok Değişkenli Doğrusal Regresyon

13.6.   Doğrusal Olmayan Regresyon

13.7.   Regresyon Modelinin Doğrusallık (Lineerlik) Testi (Tekrarlı Ölçümler ve Uyum Eksikliği)   

13.8.   Korelasyon

13.9.   Korelasyon Katsayısının Önemliliği

13.10.                                                                                                                                                                                                                                                                                 Alıştırmalar

BÖLÜM 14. VARYANS ANALİZİ

14.1.   Giriş

14.2.   Gösterimler

14.3.   Kitle Ortalamalarının Eşitliğinin testi

14.4.   Varyansların Eşitliğinin Test edilmesi

14.5.   Alıştırmalar

BÖLÜM 15. ENDEKS SAYILAR

15.1.   Giriş

15.2.   Basit İndeks

15.3.   Basit Toplam Fiyat İndeksi

15.4.   Oranların Aritmetik Ortalaması ile Fiyat İndeksi

15.5.   Ağırlıklı Fiyat İndeksleri

15.6.   Miktar ve Değer İndeksi

15.7.   Zincirleme İndeks

15.8.   Alıştırmalar

BÖLÜM 16. ZAMAN SERİLERİNİN ANALİZİ

16.1.   Giriş

16.2.   Zaman Serilerinin Değişimlerinin (Hareketlerinin) Sınıflandırılması

16.3.   Alıştırmalar

ALIŞTIRMALARIN YANITLARI ve ÇÖZÜMLERİ